Eine Unternehmung besitzt die Produktionsfunktion $x = K^{1/6}L^{2/6}$. Der gegebene Preis des Produkts sei $p = 720$ Geldeinheiten (GE). Der Preis einer Einheit Kapital ($r$) sei 6 GE, der Preis einer Einheit Arbeit ($w$) sei 12 GE. Die Kosten weiterer, kurzfristig fixer Faktoren betragen 1800 GE.

Gesucht sind 

(a)	der Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion,
(b)	die Minimalkostenkombination,
(c)	die Kostengleichung $C=C(K,L)$,
(d)	die Niveauproduktionsfunktion $x=f(L)$ für kostenminimalen Faktoreinsatz,
(e)	die Durchschnittskostenfunktion,
(f)	die Grenzkostenfunktion,
(g)	die Angebotsfunktion $x=x(p)$,
(h)	die gewinnmaximierende Produktionsmenge und
(i)	die Wertgrenzproduktregel.

 

Lösung

(a) Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion kann man den Homogenitätsgrad direkt als Summe der Exponenten ablesen, also $r = 1/6 + 2/6 = 1/2$. Der Homogenitätsgrad oder die Skalenelastizität ist also 0.5; die Produktionsfunktion ist unterlinear-homogen. Das bedeutet, dass die Grenzkosten steigen, denn - unabhängig vom Ausgangsniveau - beträgt die Produktionssteigerung bei einer Steigerung aller Faktoreinsätze um 1% nur 0,5%. Wenn aber die Produktion langsamer wächst als der Faktoreinsatz, müssen bei konstanten Preisen die Kosten pro Stück steigen (und wenn die Durchschnittskosten steigen, dann steigen auch die Grenzkosten). Es wird also auf jeden Fall ein Gewinnmaximum zu berechnen sein (und keine Randlösung eintreten).

(b) Die analytische Bedingung für die Minimalkostenkombination (gleiche Steigung von Isoquante und Isokostengerade) lautet:

$$ \frac{\cfrac{\partial x}{\partial L}}{\cfrac{\partial x}{\partial K}} = \cfrac{w}{r} $$ Somit hier: $$ \cfrac{\frac{4}{6}L^{-2/6}K^{1/6}}{\frac{1}{6}L^{2/6}K^{-5/6}} = \cfrac{12}{6}$$ und nach Vereinfachung: $K = L$.

Die Unternehmung erreicht also kostenminimale Faktorkombinationen, wenn sie mengenmäßig Kapital und Arbeit im Verhältnis 1:1 einsetzt. Woran liegt's? Aus der Produktionsfunktion kann man ablesen, dass Arbeit produktiver ist als Kapital. Steigt der Arbeitseinsatz um 1%, dann steigt die Produktion um 2/6% - beim Kapital aber nur um 1/6%. Andererseits kostet eine Einheit Kapital aber nur halb so viel wie eine Einheit Arbeit. Das führt im Zusammenspiel (Arbeit ist teurer, aber produktiver) zu einem optimalen Faktormix im Verhältnis 1:1. Der Expansionspfad ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung 1.

(c) Die Kostengleichung lautet $C =6K+12L+1800$.

(d) Da aus (b) $K = L$ bekannt ist, kann die (Niveau-)Produktionsfunktion für kostenminimalen Faktoreinsatz angegeben werden als:
$$ x = K^{1/6}L^{2/6} = L^{1/6}L^{2/6} = L^{1/2} = \sqrt{L} \space \space \space \text{für} \space \frac{K}{L} = 1 $$

(e) Mit der Kostengleichung aus (c) und der Bedingung für kostenminimale Produktion aus (b) folgt $C = 18L + 1800$. Mit dem Ergebnis aus (d) erhält man die Kostenfunktion $C = 18x^2 + 1800$. Also können die Durchschnittskosten angegeben werden mit $$ DK = \cfrac{C}{x} = 18x + \cfrac{1800}{x} $$

(f) Die erste Ableitung der Kostenfunktion liefert die Grenzkosten: $GK = \cfrac{\text{d}C}{\text{d}x} = 36x$.

(g) Kurzfristige Angebotsfunktion: Der steigende Ast der Grenzkostenfunktion beginnend im Betriebsminimum. Hier steigen die Grenzkosten immer an. Die variablen Durchschnittskosten sind $DVK = 18x$. Das Betriebsminimum liegt also bei $x = 0$. Damit lautet nach der Preis-Grenzkosten-Regel die Angebotsfunktion $p = 36x$.

(h) Gewinnmaximierende Menge: $x^*=20$; die hinreichende Bedingung ist aufgrund der festgestellten steigenden Grenzkosten erfüllt.

(i) Überprüfung für den Faktor $L$ ($K$ analog): Mit dem Ergebnis aus (d) folgt, dass die gewinnmaximierende Produktionsmenge mithilfe von $400 L$ hergestellt wird. Das physische Grenzprodukt von $L$ ist $$ \cfrac{\partial x}{\partial L} = \frac{2}{6}L^{-1}x =\frac{2}{6}\frac{1}{400} \cdot 20 = \frac{1}{60} $$ Damit ist das Wertgrenzprodukt $$ WGP_L = p \cfrac{\partial x}{\partial L} = 720 \cdot \frac{1}{60} = 12 $$ gleich dem Lohnsatz $w$. Die Wertgrenzproduktregel $ WGP_L = w$ ist erfüllt.